您现在的位置:首页 > >

[精品]2019届高三数学上学期月考试题(二)文(含解析)

发布时间:

精品试卷
2019 高三数学上学期月考试题(二)文(含解析)
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共 10 页。时量 120 分钟。满分 150 分。 第Ⅰ卷
一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目 要求的.
1.设集合 M={x|x2-2x-3≤0},N={x|2x<2},则 M∩N=( C )
A.[-1,3] B.(-∞,1) C.[-1,1) D.(1,3] 【解析】M=[-1,3],N=(-∞,1),,故 M∩N=[-1,1).故选 C. 2.若 2i2+ai=b+4i,其中 a,b∈R,i 为虚数单位,则 a+b=( D ) A. -2 B.-1 C.0 D.2 【解析】由复数相等得:a=4,b=-2,a+b=2,故选 D. 3.已知下面四个命题: ①“若 x2-x=0,则 x=0 或 x=1”的逆否命题为“若 x≠0 且 x≠1,则 x2-x≠0” ②“x<1”是“x2-3x+2>0”的充分不必要条件 ③命题 p:存在 x0∈R,使得 x20+x0+1<0,则非 p:任意 x∈R,都有 x2+x+1≥0 ④若 p 且 q 为假命题,则 p,q 均为假命题 其中真命题个数为( C ) A.1 B.2 C.3 D.4 【解析】由题可知,①正确,②正确,特称命题的否定为全称命题,所以③显然正确;若 p 且 q 为假命题,则 p,q 至少有一个是假命题,所以④的推断不正确. 故选 C.
4.设正项等比数列{an}的前 n 项的和为 Sn,且aan+n 1<1,若 a3+a5=10,a1·a7=16,则 S4=( B )
A.60 或125 B.60 C.125 D.120
【解析】由等比数列{an}是单调递减数列,得?????aa53==28,,q=12,所以 a1=32,S4=a1(11--qq4)=60 ,故选 B.
5.如图所示,在三棱锥 D-ABC 中,已知 AC=BC=CD=2,CD⊥平面 ABC,∠ACB=90°.若其正视图、俯视图 如图所示,则其侧视图的面积为( D )
A. 6 B.2 C. 3 D. 2 【解析】由几何体的结构特征和正视图、俯视图,得该几何体的侧视图是一个直角三角形,其中一条直角边是
1 CD,另一条直角边为△ABC 的边 AB 上的中线,所以其侧视图面积为 S=2×2× 2= 2,故选答案 D.
6.已知平面上不重合的四点 P、A、B、C 满足→PA+→PB+→PC=0,且→AB+→AC+xA→P=0,那么实数 x 的值为( B )
推荐下载

A.2 B.-3 C.4 D.5

精品试卷

【解析】由题可知,根据向量的减法有,→AB=→PB-→PA,→AC=→PC-→PA,于是有(→PB-→PA)+(P→C-P→A)=x→PA,故(-

x-2)P→A+P→B+P→C=0,又因为P→A+P→B+P→C=0,所以-x-2=1,即 x=-3.故选 B.
7.在△ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c,若cb<cos A,则△ABC 为( A ) A.钝角三角形 B.直角三角形 C.锐角三角形 D.等边三角形 【解析】根据定理:cb=ssiinn CB<cos A,那么 sin C=sin Bcos A,根据 A+B+C=π ,所以 sin C=sin(A+B), 所以 sin(A+B)<sin Bcos A,整理为:sin Acos B<0 ,三角形中 sin A>0,所以 cos B<0,那么π2 <B<π .故选 A.

8.某程序框图如图所示,该程序运行后若输出 S 的值是 2,则判断框内可填写( B ) A.i≤2015 B.i≤2016 C.i≤2017 D.i≤2018 【解析】由程序框图,初始值 S=2,i=1. 循环一次后,S=-3,i=2; 循环两次后,S=-12,i=3; 循环三次后,S=13,i=4; 循环四次后,S=2,i=5; 循环五次后,S=-3,i=6; … 依次类推,S 的值呈周期性变化,周期为 4.
1 如果 i≤2 015,则循环结束 S=3;如果 i≤2 016,则循环结束 S=2. 因此条件判断框中的条件是“i≤2 016”. 故选 B.
9.函数 f(x)=???1+2 ex-1???cos x 的图象的大致形状是( B )

【解析】由题意得,f(x)=???1+2 ex-1???cos

1-ex x=1+ex·cos

x,所以

f(-x)=11-+ee--xx·cos(-x)=e1x+-e1x·cos

x

推荐下载

精品试卷

=-f(x),所以函数 f(x)为奇函数,图象关于原点对称,排除选项 A,C;令 x=1,则 f(1)=???1+2 e1-1???cos 1=???11-+ee???

cos 1<0,故选 B.

x2 y2

a2

10.椭圆a2+b2=1(a>b>0)的右焦点 F,直线 x= c 与 x 轴的交点为 A,在椭圆上存在点 P 满足线段 AP 的垂直

平分线过点 F,则椭圆离心率的取值范围是( D )

A. (0, 22] B. (0,12) C. [ 2-1,1) D. [12,1)

【解析】由题意,椭圆上存在点 P,使得线段 AP 的垂直平分线过点 F,即 F 点到 P 点与 A 点的距离相等.而|FA|

a2

b2

b2

= c -c= c ,因为|PF|∈[a-c,a+c],所以 c ∈[a-c,a+c].

即 ac-c2≤b2≤ac+c2,∴?????aac2--cc22≥≤aac2- +cc22,

??ca≤1, ???ca≤-1或ca≥12,

1 又 e∈(0,1),故 e∈[2,1),故答案选 D.

11.在体积为43的三棱锥 S-ABC 中,AB=BC=2,∠ABC=90°,SA=SC,且平面 SAC⊥平面 ABC,若该三棱锥

的四个顶点都在同一球面上,则该球的体积是( B )

82

9

27

A. 3 π B.2π C. 2 π D.12π

【解析】△ABC 外接圆圆心为 AC 中点 D,连接 SD,则由平面 SAC⊥平面 ABC 及 SA=SC,知 SD⊥平面 ABC,且球

1

4

心 O 在 SD 上,则3S△ABC×SD=3,解得 SD=2.设三棱锥 S-ABC 外接球半径为 R,则 R=OS=OB,所以在 Rt△ODB 中,

OB2=BD2+OD2,即 R2=( 2)2+(2-R)2,解得 R=32,故所求球的体积为 V=43π R3=92π ,故选 B.

12.某同学用“随机模拟方法”计算曲线 y=ln x 与直线 x=e,y=0 所围成的曲边三角形的面积时,用计算 机分别产生了 10 个在区间[1,e]上的均匀随机数 xi 和 10 个在区间[0,1]上的均匀随机数 yi(i∈N*,1≤i≤10), 其数据如下表的前两行.

x 2.50 1.01 1.90 1.22 2.52 2.17 1.89 1.96 1.36 2.22

y 0.84 0.25 0.98 0.15 0.01 0.60 0.59 0.88 0.84 0.10

ln x 0.90 0.01 0.64 0.20 0.92 0.77 0.64 0.67 0.31 0.80

由此可得这个曲边三角形面积的一个近似值为( A )

A. 35(e-1) B. 45(e-1) C. 12(e-1) D. 23(e-1)

【解析】由表可知,向矩形区域???1≤x≤e,内随机抛掷 ??0≤y≤1

10

个点,其中有

6

6 个点在曲边三角形内,其频率为10=

35. 因为矩形区域的面积为 e-1,所以曲边三角形面积的近似值为35(e-1),选 A. 选择题答题卡

推荐下载

题号 答案

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 CDBBDBABB D B A
第Ⅱ卷

精品试卷
本卷包括必考题和选考题两部分.第 13~21 题为必考题,每个试题考生都必须作答.第 22~23 题为选考题, 考生根据要求作答.
二、填空题:本题共 4 小题,每小题 5 分.

13.已知 cos(α -π2 )=45且 α ∈(π2 ,π ),则 tan(α -π4 )=__7__.

【解析】由已知得,sin

α

4 =5,cos

α

3 =-5,tan

α

4 =-3,tan(α

-π4 )=t1a+ntαan-α1=1(+-(43)-43-)1=7.

1

14.对于实数 a 和 b,定义运算 a*b=???a(b+1),(a>b),则式子 ln ??b(a+1),(a<b),

e2*???19???-2的值为__9__.

1

【解析】因为 a*b=???a(b+1),(a>b),而 ln ??b(a+1),(a<b),

e2=2<???19???-2=3,所以 ln

e2*???19???-12=3×(2+1)=9.

15.已知函数 f(x)=xα 的图象过点(4,2),令 an=f(n+1)1+f(n),n∈N*.记数列{an}的前 n 项和为 Sn,则

S2019=__ 2020-1__. 【解析】由函数 f(x)=xα 的图象过点(4,2)得:4α =2,α =12,

1

从而 f(x)=

x;∴an=

n+1+

= n

n+1-

n,

从而 S2019=( 2- 1)+( 3- 2)+…+ 2020- 2019= 2020-1. 16.设函数 f(x)=ex(2x-1)-ax+a,其中 a<1,若存在唯一的整数 x0,使得 f(x0)<0,则 a 的取值范围是__[23e,

1)__.

【解析】f(x)<0 ex(2x-1)<ax-a,记 g(x)=ex(2x-1),则题意说明存在唯一的整数 x0,使 g(x)的图象在

直线

y=ax-a

下方,g′(x)=ex(2x+1),当

1 x<-2时,g′(x)<0,当

1 x>-2时,g′(x)>0,因此当

1 x=-2时,g(x)

取得极小值也是最小值 g(-12)=-2e-12,又 g(0)=-1,g(1)=e>0,直线 y=ax-a 过点(1,0)且斜率为 a,故

??-a>g(0)=-1, ???g(-1)=-3e-1≥-a-a,
3 解得2e≤a<1.

推荐下载

精品试卷
三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分 12 分) 为增强市民的环保意识,某市政府向社会征召义务宣传志愿者.现从符合条件的志愿者中挑选了 100 名,按年 龄(单位:岁)分为 5 组:第 1 组[20,25),第 2 组[25,30),第 3 组[30,35),第 4 组[35,40),第 5 组[40,45], 其频率分布直方图如图所示. (Ⅰ)根据频率分布直方图,估计这 100 名志愿者的平均年龄;

(Ⅱ)现指定第 3 组中某 3 人,第 4 组中某 2 人,第 5 组中某 1 人,共 6 名志愿者参加某项宣传活动.活动结束

后,从这 6 人中随机抽取 2 人介绍经验,求第 4 组中至少有一名志愿者被抽中的概率.

【解析】(Ⅰ)在频率分布直方图中,从左至右各小矩形的面积分别是 0.05,0.35,0.3,0.2,0.1.(2 分)

下底边中点值分别是 22.5,27.5,32.5,37.5,42.5.(4 分)

因为 22.5×0.05+27.5×0.35+32.5×0.3+37.5×0.2+42.5×0.1=32.25.

由此估计,这 100 名志愿者的平均年龄为 32.25 岁.(6 分)

(Ⅱ)设“第 4 组中至少有一名志愿者被抽中”为事件 A,

记第 3 组的 3 名志愿者为 A1,A2,A3,

第 4 组的 2 名志愿者为 B1,B2,第 5 组的 1 名志愿者为 C1.(7 分)

则从 6 名志愿者中抽取 2 名志愿者的取法有:(A1,A2),(A1,A3),(A1,B1),(A1,B2),(A1,C1),(A2,A3),(A2,

B1),(A2,B2),(A2,C1),(A3,B1),(A3,B2),(A3,C1),(B1,B2),(B1,C1),(B2,C1)共有 15 种.(9 分)

其中第 4 组的 2 名志愿者 B1,B2 至少有一名被抽中的取法有:(A1,B1),(A1,B2),(A2,B1),(A2,B2),(A3,B1),

(A3,B2),(B1,B2),(B1,C1),(B2,C1)共有 9 种.(11 分)

93

3

所以 P(A)=15=5,故第 4 组中至少有一名志愿者被抽中的概率为5.(12 分)

18.(本小题满分 12 分)

如图所示,在四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 是边长为 2 的正方形,侧面 PAD⊥底面 ABCD,且 PA=PD= 22AD, 若 E、F 分别为 PC、BD 的中点.
(Ⅰ)求三棱锥 F-DEC 的体积; (Ⅱ)在线段 CD 上是否存在一点 G,使得平面 EFG⊥平面 PDC?若存在,请说明其位置,并加以证明;若不存在, 请说明理由.

【解析】(Ⅰ)过点 P 作 AD 的垂线 PH,垂足为 H.
推荐下载

又∵侧面 PAD⊥底面 ABCD,PH 平面 PAD, 侧面 PAD∩底面 ABCD=AD, ∴PH⊥平面 ABCD.连接 HC,(2 分) ∵E 为 PC 中点,∴三棱锥 E-FDC 的高 h=12PH,

又 PA=PD= 22AD 且 AD=2,∴PH=1,∴h=24=12,(4 分)

∴三棱锥 F-DCE 的体积是

1

1

111

VF-DCE=VE-FDC=3S△DFC·h=3× 2× 2×2×2=6.(6 分)

(Ⅱ)在线段 CD 上存在一点 G 为 CD 的中点时,使得平面 EFG⊥平面 PDC,理由如下:(7 分) ∵底面 ABCD 是边长为 2 的正方形,∴CD⊥AD,

又侧面 PAD⊥底面 ABCD,CD 平面 ABCD, 侧面 PAD∩底面 ABCD=AD,

∴CD⊥平面 PAD,(9 分) 又 EF∥PA,∴CD⊥EF,

取 CD 中点 G,连接 FG, ∵F 为 AC 中点,∴FG∥AD,

又 CD⊥AD,∴FG⊥CD,

又 FG∩EF=F,∴CD⊥平面 EFG,(11 分)

又 CD 平面 PCD,

∴平面 EFG⊥平面 PCD.(12 分)

19.(本小题满分 12 分)

已知数列{bn}满足

n+13 Sn+bn= 2 ,其中

Sn

为数列{bn}的前

n

项和.

1 (Ⅰ)求证数列{bn-2}是等比数例,并求数列{bn}的通项公式;

(Ⅱ)如果对任意 n∈N*,不等式12+1n2-k 2Sn≥2n-5 恒成立,求实数 k 的取值范围.

7 【解析】(Ⅰ)证明:当 n=1 时,2b1=7,b1=2.(1 分)

n+13 当 n≥2 时,Sn+bn= 2 ,①

(n-1)+13

Sn-1+bn-1=

2

,②

1 由①-②得 2bn-bn-1=2,

所以???bn-12???=12???bn-1-21???,(4 分)

所以数列???bn-12???是首项为

1

1

b1-2=3,公比为2的等比数列,

所以 bn-12=???b1-12???·???12???n-1=3·???12???n-1,

精品试卷

推荐下载

精品试卷

即 bn=3·???12???n-1+12.(6 分)

(Ⅱ)由题意及(Ⅰ)得:

Sn=n+213-bn=n+213-3???12???n-1-12=n+212-3???12???n-1.(7 分)

12k 不等式12+n-2Sn≥2n-5,

化简得

2n-5 k≥( 2n )max,对任意

n∈N*恒成立.(8

分)

2n-5

2n-3 2n-5 -2n+7

设 cn= 2n ,则 cn+1-cn= 2n+1 - 2n = 2n+1 .

当 n≥3.5 时,cn+1≤cn,cn 为单调递减数列, 当 1≤n<3.5 时,cn+1>cn,cn 为单调递增数列,(10 分)
3 所以 n=4 时,cn 取得最大值16,(11 分)

所以,要使

2n-5 k≥ 2n 对任意

n∈N*恒成立,k≥136.(12

分)

20.(本小题满分 12 分) x2 y2
设 A、B 分别为双曲线 C1:a2-b2=1(a>0,b>0) 的左、右顶点,双曲线的实轴长为 4,焦点到渐近线的距离为

1.

(Ⅰ)求双曲线的方程;

x2 y2

x2 y2

1

(Ⅱ)已知椭圆 C2:m2+n2=1 (m>n>0)的焦点与双曲线 C1:a2-b2=1(a>0,b>0)的左右顶点重合,且离心率为2.

直线 l:y=kx-4 交椭圆 C2 于 A、B 两个不同的点,若原点 O 在以线段 AB 为直径的圆的外部,求 k 的取值范围. 【解析】(Ⅰ)由题意知 a=2,焦点坐标为(± 4+b2,0)一条渐近线为 y=b2x,即 bx-2y=0,焦点到渐近线的

距离为 1. 即 4+b2+b2·4 b=1,∴b2=1,

∴双曲线的方程为x42-y2=1.(4 分)

(Ⅱ)由(Ⅰ)得双曲线 C1 的顶点 F(±2,0) , ∵ 椭圆 C2 的焦点与双曲线 C1 的顶点重合, ∴椭圆 C2 半焦距 c=2, m2-n2=c2=4.
1 ∵椭圆 C2 的离心率为2,

∴2m=12 m=4,n=2 3,

x2 y2 ∴椭圆 C2 的方程为:16+12=1.(6 分)

??y=kx-4,

设 A(x1,y1)、B(x2,y2),由???1x62 +1y22 =1

得(4k2+3)x2-32kx+16=0. ,

推荐下载

由 Δ >0 (-32k)2-4×16(4k2+3)>0

1

1

k>2或 k<-2. ①(7 分)

32k

16

由韦达定理得:x1+x2=4k2+3,x1x2=4k2+3.(8 分)

∵原点 O 在以线段 AB 为直径的圆的外部,则→OA·→OB>0,(9 分)

精品试卷

→OA·→OB=(x1,y1)·(x2,y2)=y1y2+x1x2=(kx1-4)·(kx2-4)+x1x2

=(k2+1)x1x2-4k(x1+x2)+16=(k2+1)×4k12+6 3-4k×4k322+k 3+16 16(4-3k2)
= 4k2+3 >0

-2 3 3<k<2 3 3

②(11 分)

由①、②得实数 k 的范围是-2 3 3<k<-12或12<k<2 3 3.(12 分) 21.(本小题满分 12 分)
已知函数 f(x)=12x2,g(x)=aln x. (Ⅰ)若曲线 y=f(x)-g(x)在 x=1 处的切线的方程为 6x-2y-5=0,求实数 a 的值; (Ⅱ)设 h(x)=f(x)+g(x),若对任意两个不等的正数 x1、x2,都有h(x1x)1- -hx(2 x2)>2 恒成立,求实数 a 的取值
范围;
(Ⅲ)若在[1,e]上存在一点 x0,使得 f′(x0)+f′(1 x0)<g(x0)-g′(x0)成立,求实数 a 的取值范围.
【解析】(Ⅰ)由 y=f(x)-g(x)=12x2-aln x,得 y′=x-ax,
由题意,1-a=3,所以 a=-2.(2 分)
(Ⅱ)h(x)=f(x)+g(x)=12x2+aln x, 因为对任意两个不等的正数 x1,x2,都有h(x1x)1--xh(2 x2)>2, 设 x1>x2,则 h(x1)-h(x2)>2(x1-x2),即 h(x1)-2x1>h(x2)-2x2 恒成立, 问题等价于函数 F(x)=h(x)-2x,即 F(x)=12x2+aln x-2x 在(0,+∞)为增函数.(4 分)

所以 F′(x)=x+ax-2≥0 在(0,+∞)上恒成立,即 a≥2x-x2 在(0,+∞)上恒成立,

所以 a≥(2x-x2)max=1,即实数 a 的取值范围是[1,+∞).(6 分)

(Ⅲ)不等式

f′(x0)+f′(1 x0)<g(x0)-g′(x0)等价于

1 x0+x0<aln

a x0-x0,

1+a 整理得 x0-aln x0+ x0 <0.

设 m(x)=x-aln x+1+x a,由题意知,在[1,e]上存在一点 x0,使得 m(x0)<0.(8 分)

推荐下载

由 m′(x)=1-ax-1+x2 a=x2-ax-x(2 1+a)=(x-1-ax)2 (x+1).
因为 x>0,所以 x+1>0,即令 m′(x)=0,得 x=1+a. ①当 1+a≤1,即 a≤0 时,m(x)在[1,e]上单调递增, 只需 m(1)=2+a<0,解得 a<-2.(9 分) ② 当 1<1+a≤e,即 0<a≤e-1 时,m(x)在 x=1+a 处取最小值.

精品试卷



m(1+a)=1+a-aln(1+a)+1<0,即

a+1+1 a+1+1<aln(a+1),可得 a <ln(a+1).

考查式子tt+ -11<ln t,

因为 1<t≤e,可得左端大于 1,而右端小于 1,所以不等式不能成立.(10 分)

③ 当 1+a>e,即 a>e-1 时,m(x)在[1,e]上单调递减,

只需

m(e)=e-a+1+e a<0,解得

e2+1 a> e-1 .

综上所述,实数 a 的取值范围是(-∞,-2)∪???ee2-+11,+∞???.(12 分)
请考生在第 22~23 两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分。做答时请写清题号。

22.(本小题满分 10 分)选修 4-4:极坐标与参数方程

在平面直角坐标系 xOy 中,以 O 为极点,x 轴的非负半轴为极轴建立的极坐标系中,直线 l 的极坐标方程为 θ

=π4



∈R),曲线

C

的参数方程为??x= 2cos θ ?y=sin θ .



(Ⅰ)写出直线 l 及曲线 C 的直角坐标方程;
(Ⅱ)过点 M 平行于直线 l 的直线与曲线 C 交于 A、B 两点,若|MA|·|MB|=83,求点 M 轨迹的直角坐标方程.
【解析】(Ⅰ)直线 l:y=x,曲线 C 的直角坐标方程为x22+y2=1.(4 分 )

?? 2 x=x0+ 2 t,

(Ⅱ)设点 M(x0,y0),过点 M 的直线为 l1:

(t 为参数).

?2

??y=y0+ 2 t

由直线 l1 与曲线 C 相交可得32t2+ 2(x0+2y0)t+x20+2y20-2=0,
由|MA|·|MB|=83得????x20+232y20-2????=83,即x620+y320=1 表示椭圆.
取 y=x+m 代入x22+y2=1 得 3x2+4mx+2m2-2=0,
x2 y2 由 Δ >0 - 3<m< 3,故点 M 的轨迹是椭圆 6 + 3 =1 夹在平行直线 y=x± 3之间的两段椭圆弧.(10 分)
23.(本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲
已知函数 f(x)=|x+1|+2|x-1|-a
(Ⅰ)若 a=1,求不等式 f(x)>x+2 的解集; (Ⅱ)若不等式 f(x)≤a(x+2)的解集为非空集合,求 a 的取值范围.
【解析】(Ⅰ)当 a=1,不等式|x+1|+2|x-1|-a>x+2,

推荐下载

即为|x+1|+2|x-1|-1>x+2,即|x+1|+2|x-1|>x+3,

不等式等价于???x<-1, 或???-1≤x≤1,或???x>1,

x<-1 或-1≤x<0 或 x>2,

??1-3x>x+3 ??3-x>x+3 ??3x-1>x+3

所以所求不等式的解集为{x|x<0或x>2}.(5 分) (Ⅱ)由 f(x)≤a(x+2) |x+1|+2|x-1|-a≤a(x+2),即|x+1|+2|x-1|≤a(x+3).

设 g(x)=|x+1|+2|x-1|=???13- -3xx((x<--11≤)x,≤1),
??3x-1 (x>1).

1 如图,P(-3,0),kPA=2,kPD=kBC=-3.

精品试卷

故由题可知

a<-3



1 a≥2.即

a

的取值范围为(-∞,-3)∪???12,+∞???.(10

分)

推荐下载



热文推荐
猜你喜欢
友情链接: 简历 面试求职范文 职业规划 自我管理 社交礼仪 76242百科