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2020高考数学文科大一轮复习第四章平面向量_数系的扩充与复数的引入_ _4-4


第四章
平面向量、数系的扩充与复数的引入

第四节 数系的扩充与复数的引入

知识梳理·自主学 课堂探究·深度剖析 习 课时作业

知识梳理·自主学习
课前热身 稳固根基

知识点一 复数的概念

1.复数的概念

形如 a+bi(a,b∈R)的数叫复数,其中 a,b 分别是它的实部和

虚部

.若 b=0,则 a+bi 为实数;若 b≠0,则 a+bi 为虚

数;若 a=0 且 b≠0 ,则 a+bi 为纯虚数.

2.复数相等:a+bi=c+di? a=c 且 b=d (a,b,c,d∈R).

3.共轭复数:a+bi 与 c+di 共轭? a=c,b=-d (a,b,c,d
∈R). 4.复数的模 向量O→Z的模 r 叫做复数 z=a+bi(a,b∈R)的模,记作|z|或|a+bi|,

即|z|=|a+bi|=

a2+b2

.

1.判断正误

(1)已知 z=a+bi(a,b∈R),当 a=0 时复数 z 为纯虚数.( × )

(2)复数 z=a+bi(a,b∈R)中,虚部为 bi.( × )

(3)复数中有相等复数的概念,因此复数可以比较大小.( × )

2.下列各式的运算结果为纯虚数的是( C )

A.i(1+i)2

B.i2(1-i)

C.(1+i)2

D.i(1+i)

解析:i(1+i)2=i·2i=-2,不是纯虚数,排除 A;i2(1-i)= -(1-i)=-1+i,不是纯虚数,排除 B;i(1+i)=-1+i,不是 纯虚数,排除 D;(1+i)2=2i,2i 是纯虚数.故选 C.

知识点二 复数的几何意义

3.(2018·北京卷)在复平面内,复数1-1 i的共轭复数对应的点位于

( D)
A.第一象限

B.第二象限

C.第三象限 D.第四象限

解析:1-1 i=1+2 i=12+12i,其共轭复数为12-12i,对应的点为

(12,-12),故选 D.

知识点三 复数的运算
1.复数的加、减、乘、除运算法则
设 z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R),则
(1)加法:z1+z2=(a+bi)+(c+di)= (a+c)+(b+d)i ; (2)减法:z1-z2=(a+bi)-(c+di)= (a-c)+(b-d)i ; (3)乘法:z1·z2=(a+bi)·(c+di)= (ac-bd)+(ad+bc)i ;

(4)除法:zz21=ac++dbii=??ac++dbii????cc--ddii??=acc2+ +bdd2 +bcc2- +add2 i(c+di≠0).

2.复数加法的运算定律

复数的加法满足交换律、结合律,即对任何 z1,z2,z3∈C,有 z1

+z2=

z2+z1

,(z1+z2)+z3= z1+(z2+z3) .

4.(2018·全国卷Ⅱ)11+ -22ii=( D )

A.-45-35i

B.-45+35i

C.-35-45i

D.-35+45i

解析:11+ -22ii=??11+-22ii????11++22ii??=-35+45i,故选 D.

5.(2018·全国卷Ⅰ)设 z=11- +ii+2i,则|z|=( C )

A.0

1 B.2

C.1

D. 2

解析:解法 1:因为 z=11-+ii+2i=?1+?1i-??1i?-2 i?+2i

=-i+2i=i,所以|z|=1,故选 C. 解法 2:因为 z=11-+ii+2i=1-i+1+2i?i1+i?

=-11++i i,所以|z|=|-11++i i|=|-|11++i|i|

= 22=1,故选 C.

1.i4n=1,i4n+1=i,i4n+2=-1,i4n+3=-i(n∈N*); i4n+i4n+1+i4n+2+i4n+3=0(n∈N*). 2.z·z =|z|2=| z |2,|z1·z2|=|z1|·|z2|,???zz12???=||zz12||,|zn|=|z|n. 3.复数加法的几何意义:若复数 z1,z2 对应的向量O→Z1,O→Z2不共 线,则复数 z1+z2 是以O→Z1,O→Z2为邻边的平行四边形的对角线O→Z所对 应的复数. 4.复数减法的几何意义:复数 z1-z2 是O→Z1-O→Z2=Z→2Z1所对应的 复数.

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考向一 复数的概念

【例 1】 (1)若复数 z=(x2-1)+(x-1)i 为纯虚数,则实数 x 的值

为( A )

A.-1

B.0

C.1

D.-1 或 1

(2)若复数 z 满足(3-4i)z=|4+3i|,则 z 的虚部为( D )

A.-4

B.-45

C.4

4 D.5

(3)(2019·合肥模拟)设 z2=z1-i z1 (其中 z1 表示 z1 的共轭复数),已知
z2 的实部是-1,则 z2 的虚部为___1_____.

【解析】 (1)由纯虚数的定义得到?????xx-2-11≠=00,, 解得 x=-1. (2)因为|4+3i|= 42+32=5, 所以 z=3-5 4i=?3-5?43i+??34+i? 4i? =3+5 4i=35+45i, 所以 z 的虚部为45.

(3)设 z1=a+bi(a,b∈R), 所以 z1 =a-bi,z2=z1-i z1 =a+bi-i(a-bi)=a+bi-ai-b=a-b+(b-a)i, 因为 z2 的实部是-1, 所以 a-b=-1, 所以 z2 的虚部为 b-a=1.

解决复数概念问题的方法及注意事项 (1)复数的分类及对应点的位置问题都可以转化为复数的实部与虚 部应该满足的条件的问题,只需把复数化为 a+bi(a,b∈R)的形式,列 出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可. (2)解题时一定要先看复数是否为 a+bi(a,b∈R)的形式,以确定 实部和虚部.

(1)已知 a∈R,复数 z=a1- -ii为纯虚数(i 为虚数单位),则 a=

(B )

A.- 2

B.-1

C.1

D. 2

(2)若复数 z 满足 i·z=-12(1+i),则 z 的共轭复数的虚部是( C )

A.-12i

B.12i

C.-12

D.12

解析:(1)z=??a1- -ii????11+ +ii??=a+2 1+a-2 1i. 由题意,得a+2 1=0 且a-2 1≠0, 解得 a=-1. (2)由题意,得 z=-12·1+i i=-12·i?1i+2 i?=-12+12i,所以 z 的 共轭复数的虚部是-12,故选 C.

考向二 复数的几何意义

【例 2】 (1)在复平面内,复数?1-1+i?2i+1对应的点在( B )

A.第一象限 B.第二象限

C.第三象限 D.第四象限

(2)在复平面内,若 O(0,0),A(2,-1),B(0,3),则在?OACB 中,

点 C 所对应的复数为( A )

A.2+2i

B.2-2i

C.1+i

D.1-i

【解析】 (1)由题意得?1-1+i?2i+1 =11-+2ii=-15+35i, 该复数在复平面内所对应的点位于第二象限.故选 B. (2)如图所示,设 C(x,y).

∵O(0,0),A(2,-1),B(0,3), ∴O→B=(0,3),A→C=(x-2,y+1). 由题意可得O→B=A→C,则?????yx+-12==30,, 解得 x=y=2, ∴点 C 所对应的复数为 2+2i,故选 A.

(1)已知复数 z 满足(1-i)2·z=1+2i,则复数 z 在复平面内对应的点

为( A )

A.???-1,-12 ???

B.???1,-12 ???

C.???-12,1 ???

D.???-12,-1 ???

(2)复数1+1 ai(a∈R)在复平面内对应的点在第一象限,则 a 的取值

范围为( A )

A.a<0

B.0<a<1

C.a>1

D.a<-1

解析:(1)复数 z 满足(1-i)2·z=1+2i,则 z=?11+-2i?i2=1-+22ii= ?1-+22ii2?i=-22+i=-1+12i,所以 z =-1-12i,即复数 z 在复平面 内对应的点为???-1,-12???,故选 A.
(2)由题意可得1+1 ai=1+1a2-1+aa2i,则1+1a2>0,-1+aa2>0, 由此可得 a 的取值范围为 a<0,故选 A.

考向三 复数的运算

【例 3】 (1)(2018·全国卷Ⅲ)(1+i)(2-i)=( D )

A.-3-i

B.-3+i

C.3-i

D.3+i

(2)已知1+i i=a+bi(a,b∈R,i 是虚数单位),则|a-bi|=( D )

1

A.1

B.2

C. 2

2 D. 2

【解析】 (1)(1+i)(2-i) =2-i+2i-i2=3+i. (2)由题得 i=(1+i)(a+bi) =(a-b)+(a+b)i, 则?????aa-+bb==01,,
解得?????ab==1212,, 所以???12-12i???= ???12???2+???-12???2= 22,故选 D.

?1?复数的加法、减法、乘法运算可以类比多项式运算,除法关键 是分子分母同乘以分母的共轭复数,注意要把 i 的幂写成最简形式.
?2?记住以下结论,可提高运算速度:

(1)已知 i 为虚数单位,则复数11-+3ii=( C )

A.2+i

B.2-i

C.-1-2i

D.-1+2i

(2)????11+ -ii????6+

2+ 3-

23ii=-1+i.

? (3)

2?5+-42ii???31?-4+i?5i?=-4

2i.

解析:(1)复数11-+3ii=??11-+3ii????11--ii??

=-22-4i=-1-2i.故选 C.

(2)原式=?????1+2 i?2????6+?

2+ 3i?? 3+ ? 3?2+? 2?2

2i?

=i6+

6+2i+3i- 5

6=-1+i.

? 2+ 2i?3?4+5i? (3) ?5-4i??1-i?

=2

2?1+i?3i?5-4i? ?5-4i??1-i?

=2 2?12+i?4i= 2i(1+i)4

= 2i[(1+i)2]2= 2i(2i)2=-4 2i.

温馨 提 示
请 做:课时作业 29
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